陕西省西安中学2017-2018学年高二（平行班）上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

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西安中学2017-2018学年度第一学期期末考试高二数学（理科平行班）试题（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，中至少有一个偶数”正确的反设为（）A.，，都是奇数B.，，都是偶数C.，，中至少有两个偶数D.，，中至少有两个偶数或都是奇数【答案】A【解析】结论：“自然数中恰有一个偶数”的反面为恰有两个偶数或恰有三个偶数或恰没有偶数,因此选D.2.下列导数运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的求导公式和运算法则，逐一检验即可.【详解】由求导公式知A、C、D错，B选项正确，故选B.【点睛】本题主要考查了常见函数的求导公式，属于容易题.3.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据所给式子可知左边为，可知正确选项.【详解】当时，左边应为，即，故选D.【点睛】本题主要考查了数学归纳法及归纳推理的能力，属于容易题.4.向如下图所示的容器中匀速注水时，容器中水面高度随时间变化的大致图像是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】因为容器中间凸，所以匀速注水时，开始和结束时水位高度变化快中间时水位高度变化慢，可知选C.【详解】结合容器的形状，可知一开始注水时，水高度变化较快当水位接近中部时变慢并持续一段时间，接近上部时，水位高度变快，故选C.【点睛】本题主要考查了对函数概念的理解及函数图象的认识，结合生活实践，属于中档题.5.若双曲线的一条渐近线方程为．则此双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：由条件知，，所以，所以选C.考点：双曲线的几何性质.6.若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】根据所给向量可知其数量积为零，故知两向量垂直.【详解】因为，所以，所以两平面垂直.【点睛】本题主要考查了平面的法向量，向量的数量积，利用法向量判断平面的位置关系，属于中档题.7.已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边上，则的周长是（）A.8B.12C.D.16【答案】D【解析】△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，由椭圆的定义可得：△ABC的周长是4a=4×4=16．故答案为：C。8.下列选叙述错误的是（）A.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B.若“或”为真命题，则，均为真命题C.“若，则”的否命题为假命题D.“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据四种命题的关系及且或命题的真假逐一判断各选项即可.【详解】由逆否命题概念知A选项正确，根据或命题真假可知B选项错误，C选项正确，D选项正确，所以选C.【点睛】本题主要考查了四种命题的关系，含且或命题的真假，及充分必要条件，属于中档题.9.如图，空间四面体的每条边都等于1，点，分别是，的中点，则等于（） A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：∵空间四面体D一ABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点考点：平面向量数量积的运算10.设为抛物线：的焦点，过作倾斜角为30°的直线交于、两点，则（）A.B.16C.32D.【答案】C【解析】【分析】写出直线方程，联立抛物线方程消元，可根据弦长公式求出弦长.【详解】由题意知，AB所在直线方程为，联立消元得，设，则，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档题.11.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A.丁B.丙C.乙D.甲【答案】C【解析】 甲乙丙丁甲√√√乙√丙√√丁√√√由四个所说，得上面的表，由于是两对两错，如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符。所以乙说假话，小偷不是丙。同时丙说的也是假话。即甲、丙说的是真话，小偷是乙，选B.12.如图，在中，，、边上的高分别为、，则以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）A.B.1C.D.2【答案】A【解析】若是椭圆，则，，，，而椭圆的离心率，若是双曲线，则，，所以，故选A.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量，，且，那么等于_________【答案】-4【解析】【分析】根据向量平行，可求出,即可求解. 【详解】,即，解得，.【点睛】本题主要考查了向量平行及向量的坐标运算，属于中档题.14.平面内动点到点的距离和到直线：的距离相等，则动点的轨迹方程为是____________________________________【答案】【解析】【分析】根据抛物线定义知，动点轨迹为抛物线，焦点F,准线为，，即可写出抛物线方程.【详解】由题意知，该点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其中，所以方程为.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题.15.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1，2，3，4的4个位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2018次互换座位后，小兔的座位对应的编号为______________【答案】2【解析】【分析】根据题意，交换的规律是先前后再左右，由图可以看出，此交换的周期是4,由此规律即可求解.【详解】由图，经过4次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，因为，所以经过2018次互换座位后，小兔对应的是编号2的位置.【点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题.解题的关键是根据前几个变换方式归纳出周期为4的规律，归纳推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想对事物作出判断.16.已知椭圆：，，是椭圆的两个焦点，是该椭圆上的一个动点，则的范围为 ______________【答案】【解析】由题意，得的左、右焦点分别为，设以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则，；故填2.【技巧点睛】本题考查椭圆的几何性质和平面向量的数量积运算；本题的难点在于如何设出点的坐标，而本解法借助点在以椭圆短轴为直径的圆上，常用三角函数代换设法，降低了困难.三、解答题（共6小题，共70分）17.设命题：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题：存在，使得（1）写出命题的否定；（2）若“且”为真，求实数的取值范围。【答案】（1）：对任意的，;（2）【解析】【分析】（1）根据命题否定特征即可写出（2）由题意知p真q假，分别得出相应条件求交集即可.【详解】（1）：对任意的，（2）因为“且”为真所以真，真又真时，得真时，得所以，的取值范围为【点睛】本题主要考查了存在性命题的否定，且命题的真假，属于中档题.18.（1）设，用综合法证明：；（2）用分析法证明：.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】 （1）根据题目可采用作差法求证（2）用分析法，采用平方的方法可证明【详解】（1）而（2）要证，只需证，即证，只需证，即，而显然成立，故原不等式得证.【点睛】本题主要考查了证明方法中的综合法及分析法，属于中档题.用分析法证明问题时，注意证明的格式，是从结论出发寻求结论成立的条件.19.如图，面，面，，，是的中点，（1）求直线与所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的余弦值。【答案】（1）90°（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角计算即可（2）利用直线上的向量与平面的法向量的夹角即可得出.【详解】如图，以点为坐标原点，以、所在的直线分别为轴、轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，（1）， 所以所以直线与所成角的大小为90°；（2），平面的法向量可取所以【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系，向量的坐标运算，向量的夹角公式，属于中档题题.求线面角时，取斜线上任意一向量，求其与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值，即为线面角的正弦值.20.（1）已知曲线，求曲线在处的切线方程；（2）已知直线与曲线相切，求的值。【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）利用导数几何意义求斜率即可（2）设切点为，根据两函数在该点导数相等及该点为公共点列方程组即可求解.【详解】（1）切点为又所以所以切线方程为：（2）设切点为，又所以【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题.21.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，面，，是棱上一点，且，为的一个靠近点的三等分点。（1）求证：面（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。 【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）以，所在的直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系，求平面BDF的法向量，可证明与CE垂直，从而得证（2）求出两个平面的法向量，求其夹角余弦值即可得出二面角的余弦值.【详解】以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系如图。则，，，，，（1）设面的法向量为，又，所以取得所以即又面所以面（2）由（1）面的法向量为 又面的法向量可取所以【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明直线与平面平行，利用空间向量求两个平面的二面角，属于中档题.利用向量法求二面角时，注意法向量的夹角余弦与二面角余弦的关系，可能相等，也可能互为相反数.22.已知椭圆以，为焦点，且离心率（1）求椭圆的方程；（2）过点斜率为的直线与椭圆有两个不同交点、，求的范围；（3）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在直线，满足（2）中的条件且使得向量与垂直？如果存在，写出的方程；如果不存在，请说明理由。【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）不存在【解析】【分析】（1）由题意可得c,根据离心率可求出,即可写出方程（2）写出直线方程，联立方程组消元，通过判别式大于0求得k的取值范围（3）利用向量的坐标，可计算与的数量积为0时，k不满足,故不存在.【详解】（Ⅰ）设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为、、由题设知：由，得，则∴椭圆的方程为（Ⅱ）过点斜率为的直线：即：与椭圆方程联立消得…“*”由与椭圆有两个不同交点知其得或∴的范围是（Ⅲ）设、，则、是“*”的二根 则，则则由题设知、，∴若，须得∴不存在满足题设条件的.【点睛】本题主要考查了椭圆的方程、离心率，直线与椭圆的位置关系，属于难题.设直线方程时，要考虑斜率存不存在两种情况，最后还要考虑计算出的k是否符合条件.