2011年高考理科数学-重庆卷_解析精校版

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2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）(解析版)一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）复数（A）(B)(C)(D)（2）“”是“”的（A）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件（3）已知，则=(A)-6(B)2(C)3(D)6（4）（其中且）的展开式中与的系数相等，则（A）6(B)7(C)8(D)9（5）下列区间中，函数，在其上为增函数的是（A）(B)(C)(D)（6）若的内角所对的边满足，且，则的值为（A）(B)(C)1(D)（7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（A）（B）4（C）（D）5（8）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为12 （A）（B）（C）（D）（9）高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（A）（B）（C）1（D）（10）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（A）-8（B）8（C）12（D）13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上。（11）在等差数列中，，则（12）已知单位向量的夹角为，则（13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为（14）已知，且，则的值为（15）设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为解析：选B.。解析：选A.，故“”是“”的充分而不必要条件解析：选D.,故解析：选B。的通项为，故与的系数分别为和，令他们相等，得：，解得7解析：选D。用图像法解决，将的图像关于y轴对称得到，再向右平移两个单位，得到12 ，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图像。由图像，选项中是增函数的显然只有D解析：选A。由得，由得，解得解析：选C。因为a+b=2，所以解析：选B，由题意，AC为直径，设圆心为F，则,圆的标准方程为，故，由此，易得：，又，所以直线BD的方程为，F到BD的距离为，由此得，所以四边形ABCD的面积为解析：选C.设底面中心为G，球心为O，则易得，于是，用一个与ABCD所在平面距离等于的平面去截球，S便为其中一个交点，此平面的中心设为H，则，故，故解析：选D.设，则方程在区间（0,1）内有两个不同的根等价于，因为，所以，故抛物线开口向上，于是，，令，则由，得，则，所以m至少为2，但，故k至少为5，又，所以m至少为3，又由，所以m至少为4，……依次类推，发现当时，首次满足所有条件，故的最小值为13解析：74.，故解析：。解析：。硬币投掷6次，有三类情况，①正面次数比反面次数多；②反面次数比正面次数多；③12 正面次数而后反面次数一样多；，③概率为，①②的概率显然相同，故①的概率为解析：。由题设条件易得：，故，，所以解析：。为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：12 （16）（本小题满分13分）设满足，求函数在上的最大值和最小值12 （17）（本小题满分13分。（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问8分.）某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。（18）（本小题满分13分。（Ⅰ）小题6分（Ⅱ）小题7分。）设的导数满足其中常数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程。（Ⅱ）设求函数的极值。12 （19）本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分。如图，在四面体中，平面⊥,⊥,=,∠=（Ⅰ）若=2，=2，求四边形的体积。（Ⅱ）若二面角--为，求异面直线与所成角的余弦值。12 （20）（本小题满分12分，第一问4分，第二问8分）如图（20），椭圆的中心为原点O，离心率，一条准线的方程为。（Ⅰ）求该椭圆的标准方程。（Ⅱ）设动点P满足,其中M,N是椭圆上的点。直线OM与ON的斜率之积为。问：是否存在两个定点，使得为定值。若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。12 （21）（本小题满分12分。（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设实数数列的前n项和满足（Ⅰ）若成等比数列，求和（Ⅱ）求证：对有。12 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程和清算步骤解析：由得，解得：因此当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在上的最大值为又因为，所以在上的最小值为解析：（Ⅰ）所有可能的申请方式有种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为（Ⅱ）的所有可能值为1,2,3.又，，综上知，的分布列为：123从而有解析：（Ⅰ）因，故，令，得，由已知，解得又令，得，由已知，解得因此，从而又因为，故曲线在点处的切线方程为，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，从而有，12 令，解得。当时，，故在为减函数，当时，，故在为增函数，当时，，故在为减函数，从而函数在处取得极小值，在出取得极大值解析：（Ⅰ）如图所示，设F为AC的中点，由于AD=CD,所以DF⊥AC.故由平面⊥,知DF⊥平面,即，。在中，因,AB=2BC,有勾股定理易得.故四面体ABCD的体积（Ⅱ）如图所示设G、H分别为变CD，BD的中点，则FG//AD,GH//BC,,从而是异面直线与所成角或其补角。设E为边AB的中点，则EF//BC,由⊥，知⊥，又由（Ⅰ）有DF⊥平面，故由三垂线定理知⊥,所以为二面角--的平面角,由题设知，设AD=a，则DF=ADsinCAD=在中，，从而因，故BD=AD=a.从而，在中，,又,从而在中，因FG=FH，由余弦定理得,故异面直线与所成角的余弦值为解析：（Ⅰ）由，解得，故椭圆的标准方程为（Ⅱ）设，,则由得，即，因为点M,N在椭圆上，所以故，设分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，，因此，所以，12 所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左右焦点为，则由椭圆的定义，为定值，又因，因此两焦点的坐标分别为解析：（Ⅰ）由题意，得，由是等比中项知，因此，由，解得，（Ⅱ）证明：有题设条件有，故，且从而对有①因，且，要证，由①，只要证即证，即，此式明显成立，因此。12